1. Особенности оценки погрешности результатов расчетов по программе для электронно-вычислительных машин, предназначенной для моделирования запроектных аварий атомных станций, в процессе ее валидации

Для оценки погрешности результатов расчетов по программе для ЭВМ в процессе ее валидации рекомендуется использовать как эксперименты по отдельным процессам и явлениям, так и интегральные эксперименты, выполненные в условиях, приближенных к ожидаемым условиям на АС в ходе запроектной аварии. Результатом валидации программы для ЭВМ является оценка составляющей погрешности расчетов, связанной с упрощениями и приближениями физико-математических моделей, реализованных в программе для ЭВМ. Предлагаемый подход основывается на методике, описанной в стандарте ASME V&V20-2009.

Пусть D - значение параметра, измеренное в ходе эксперимента, использованного для валидации программы для ЭВМ, S - значение параметра, рассчитанное по программе для ЭВМ, T - "истинное" (неизвестное) значение параметра.

Введем следующие обозначения для погрешности результата расчета по программе для ЭВМ (отклонения результата расчета по программе для ЭВМ от "истинного" значения) и погрешности измерения в эксперименте, использованном для ее валидации (отклонения результата измерения от "истинного" значения):

; (1)

. (2)

Графическое представление введенных обозначений приведено

на рис. 2.

Рис. 2. Графическая иллюстрация используемых

понятий при валидации программы

для электронно-вычислительной машины

Отклонение E результата расчета S от результата измерения D можно выразить через погрешности и , учитывая выражения (1) и (2):

. (3)

Погрешность результата расчета по программе для ЭВМ имеет три составляющие:

- обусловленная упрощениями и допущениями, принятыми в физико-математической модели программы для ЭВМ;

- обусловленная численными методами, используемыми при проведении расчетов по программе для ЭВМ;

- обусловленная неполнотой знаний об исходных данных для расчета по программе для ЭВМ.

Таким образом, имеем:

. (4)

Целью валидации программы для ЭВМ в предлагаемом подходе является оценка погрешности , и для этого предложен следующий алгоритм.

Комбинация выражений (3), (4) дает выражение для определения отклонения E:

, (5)

откуда получаем:

. (6)

Смысл выражения (6) следующий: искомая погрешность определяется не только отклонением результата расчета от измеренного значения E, но и погрешностями, обусловленными неполнотой знаний об исходных данных, численных методах и измерениях. В частном случае, когда погрешностями , и можно пренебречь, погрешность совпадает с отклонением E.

В правой части уравнения (6) знак и модуль известны только для отклонения E. В предположении случайности и независимости всех величин в ASME V&V20-2009 вводится неопределенность валидации u_val:

, (7)

где: u_input, u_num, u_D - стандартные неопределенности, соответствующие , , .

Неопределенность валидации программы для ЭВМ представляет собой оценку стандартного отклонения комбинации погрешностей . Конечным количественным результатом валидации программы для ЭВМ является интервал , в котором находится . Неопределенность измерений u_D предполагается известной, поскольку ее оценка является составной частью эксперимента. Таким образом, задачей оценки неопределенностей, согласно ASME V&V20-2009, становится оценка неопределенностей u_input и u_num.

Для оценки неопределенности u_input требуется проведение вариантных расчетов по программе для ЭВМ с варьированием параметров ее расчетной модели с последующей статистической обработкой результатов указанных расчетов. Среднее значение результатов вариантных расчетов по программе для ЭВМ и неопределенность u_input определяются на основе несмещенных оценок математического ожидания и стандартного отклонения результатов вариантных расчетов по программе для ЭВМ. Оценка неопределенности u_num основана на экстраполяции Ричардсона.

Для этого выполняется сравнение результатов расчетов по программе для ЭВМ с использованием на нескольких сетках разной степени детальности. Сначала определяется порядок аппроксимации p для расчетного значения либо на основе информации об используемой численной схеме, либо из анализа на основе расчетов на трех сетках из следующей системы уравнений:

; (8)

; (9)

, (10)

где:

p - порядок аппроксимации;

r₂₁ = (N₁ / N₂)^1/d > 1, r₃₂ = (N₂ / N₃)^1/d > - коэффициенты измельчения сетки;

d - пространственная размерность сетки;

N_j - число элементов j-ой сетки, j меняется от 1 до 3;

S_j - результат расчета по программе для ЭВМ на j-ой сетке, j меняется от 1 до 3.

Система уравнений (8) - (10) решается итерационным методом. Далее рассчитывается коэффициент сходимости по сетке GCI по следующей формуле:

, (11)

где:

F_s - коэффициент надежности, рекомендуемое значение которого составляет 1,25 для анализа с использованием трех и более сеток;

- модуль разницы между результатами расчетов по программе для ЭВМ с использованием двух сеток.

Стандартная неопределенность u_num результатов расчета определяется по формуле:

где k - коэффициент охвата, рекомендуемое значение которого составляет 1,15 для анализа с использованием трех и более сеток.

Метод валидации программы для ЭВМ ASME V&V20-2009 предлагает способ оценки погрешности ее расчетной модели с использованием только одного измерения, выполненного в ходе проведения эксперимента. Практический же интерес представляет оценка погрешности , которая выполнена на основе обработки совокупности измерений, полученных в широком диапазоне изменения начальных и граничных условий (например, при различных температурах и давлениях теплоносителя, схемах подачи мощности). С этой целью проведена адаптация методики, описанной в ASME V&V20-2009.

Введем среднее относительное отклонение E_n,% и относительную неопределенность u_input,n,%, которые в предположении о независимости экспериментальных и расчетных данных можно определить по формулам:

; (13)

, (14)

где:

- среднее значение результата измерения в эксперименте;

- среднее значение результата расчета по программе для ЭВМ;

k - номер вариантного расчета.

В отличие от ASME V&V20-2009, здесь введен дополнительный индекс n для обозначения порядкового номера измерения в совокупности измерений, а под понимается результат усреднения нескольких повторных измерений. Относительная неопределенность валидации на n-м измерении находится аналогично (7):

. (15)

Определим среднее относительное отклонение и неопределенность валидации программы для ЭВМ для совокупности измерений по формулам для среднего:

; (16)

; (17)

где N_point - число измерений в эксперименте.

Следует ожидать наличия разброса отклонений E_n,% и неопределенности валидации программы для ЭВМ u_val,n,%, полученных для совокупности измерений. Для оценки этих разбросов вычислим дисперсии E_n,% и u_val,n,% по формулам:

; (18)

. (19)

Полную неопределенность валидации программы для ЭВМ определим по формуле сложения дисперсий:

. (20)

Выражения (16), (20) позволяют оценить погрешность на совокупности измерений через интервал:

. (21)