1.5. Доверительные интервалы и оценка их величины

Если случайная однородная выборка конечного объема n получена в результате последовательных измерений некоторой величины A, имеющей истинное значение , то среднее этой выборки следует рассматривать лишь как приближенную оценку величины A. Достоверность этой оценки характеризуется величиной доверительного интервала , для которой с заданной доверительной вероятностью P выполняется условие:

. (1.21)

Данный доверительный интервал не характеризует погрешность определения величины , поскольку найденная величина может быть в действительности очень близка к истинному значению , которое остается неизвестным. Полученный доверительный интервал характеризует степень неопределенности наших знаний об истинном значении величины A по результатам последовательных измерений выборки конечного объема n. Поэтому правильно говорить о "неопределенности результатов анализа", которая характеризуется доверительным интервалом, вместо выражения "погрешность результатов анализа", которое нередко не совсем корректно используется.

Расчет граничных значений доверительного интервала при известном значении стандартного отклонения s или для выборок большого объема проводят по уравнению:

, (1.22а)

предполагая, что варианты, входящие в выборку, распределены нормально. Здесь U(P) - табличное значение функции нормального распределения.

Для выборок небольшого объема расчет граничных значений доверительного интервала проводят с использованием критерия Стьюдента, предполагая, что варианты, входящие в выборку, распределены нормально:

(1.22б)

или с использованием относительных величин:

. (1.22в)

Здесь t(P, f) - табличное значение критерия Стьюдента (таблица 2 Приложения).

Распределение по критерию Стьюдента t(P, f) является обобщением нормального распределения U(P) и переходит в него при достаточно большом числе степеней свободы f, т.е. t(P, f) U(P). С учетом этого далее для единообразия везде используется более часто употребляемые соотношения (1.22б) и (1.22в), даже в случае выборок достаточно большого объема.

Полуширины относительных доверительных интервалов единичного и среднего результатов часто выражают в процентах по отношению к . В этом случае в выражении (1.22в) вместо величины s_r используют RSD, а вместо 1 указывают 100%, т.е.:

. (1.22г)

Если при измерении одной и той же методикой двух близких значений A были получены две случайные однородные выборки с объемами n и m, то при m < n для выборки объема m справедливо уравнение:

, (1.23)

где индекс указывает принадлежность величин к выборке объема m или n.

Уравнение (1.23) позволяет оценить величину доверительного интервала среднего , найденного, исходя из выборки объема m. Иными словами, доверительный интервал среднего для выборки относительно малого объема m может быть сужен благодаря использованию известных величин s_(n) и t(P, f_n), найденных ранее для выборки большего объема n. Более общим подходом является объединение выборок с расчетом объединенного стандартного отклонения и степеней свободы по уравнениям (1.14) - (1.15). Это стандартное отклонение и соответствующий объединенному числу степеней свободы критерий Стьюдента подставляют затем в выражение (1.22г).

Аналогично уравнениям (1.21) - (1.22) определяют доверительный интервал результата отдельного определения. Подставляя n = 1 в уравнение (1.22б) или m = 1 в уравнение (1.23), получают:

(1.24)

или с использованием относительных величин:

. (1.24а)

Этот интервал является доверительным интервалом результата отдельного определения. Для него с доверительной вероятностью P выполняются взаимосвязанные условия:

, (1.25)

. (1.26)

Значения и из уравнений (1.22б) и (1.24) используют при вычислении относительных неопределенностей отдельной варианты и среднего результата , выражая эти величины в процентах:

, (1.27)

. (1.28)

Пример расчета доверительных интервалов в процентах и относительных неопределенностей приведен в разделе 6.3.

Если при измерениях получают логарифмы исходных вариант, то уравнения (1.22б) и (1.24) принимают вид:

; (1.29)

. (1.30)

Потенцирование выражений (1.29) и (1.30) приводит к несимметричным доверительным интервалам для значений и x_i:

; (1.31)

, (1.32)

где:

, (1.33)

. (1.34)

При этом для нижних и верхних границ доверительных интервалов и x относительные неопределенности составляют:

, (1.35а)

. (1.35б).