3.2. Сравнение средних результатов двух выборок

Если в результате измерений одной и той же величины A получены две выборки объема n₁ и n₂, причем , может возникнуть необходимость проверки статистической достоверности гипотезы:

, (3.3)

т.е. значимости величины разности .

Такая проверка необходима, например, если величина A определялась двумя разными методиками с целью их сравнения, или, если величина A определялась одной и той же методикой для двух разных объектов, идентичность которых требуется доказать. Для проверки гипотезы (3.3) следует установить, существует ли статистически значимое различие между дисперсиями и . Эта проверка проводится так же, как при сравнении двух методик анализа по воспроизводимости согласно уравнениям (2.1) - (2.3).

Рассматривают три случая.

Различие дисперсий и статистически незначимо, когда справедливо неравенство (2.3). В этом случае средневзвешенное значение s², учитывающее не только количество выборок (дисперсий), но и их объем, вычисляют по уравнению (1.5), а дисперсию разности - по уравнению:

, (3.4)

. (3.4а)

Далее вычисляют критерий Стьюдента:

, (3.5)

при f = n₁ + n₂ - 2. (3.5а)

Если при выбранном значении P₂ (например, при P₂ = 95%):

t > t(P₂, f), (3.6)

то результат проверки положителен: разность является значимой и гипотезу отбрасывают. В противном случае надо признать, что эта гипотеза не противоречит экспериментальным данным.

Различие дисперсий и статистически значимо, когда справедливо неравенство (2.2). Если , дисперсию разности находят по уравнению (3.7), а число степеней свободы f' - по уравнению (3.8):

; (3.7)

. (3.8)

Следовательно, в данном случае:

. (3.9)

Вычисленное по уравнению (3.9) значение t сравнивают с табличным значением t(P₂, f'), как это описано выше для первого случая.

Приведенные выше расчеты упрощаются, когда и . Тогда в отсутствие систематической погрешности среднее выборки объема n₂ принимают за достаточно точную оценку величины A, т.е. принимают . Справедливость гипотезы , эквивалентной гипотезе (3.3), проверяют с помощью уравнений (1.38) и (1.39), принимая f₁ = n₁ - 1. Гипотеза (3.3) отклоняется как статистически недостоверная, если выполнятся неравенство (1.39).

Известно точное значение величины A. Если , проверяют две гипотезы: и . Проверку выполняют с помощью уравнений (1.38) и (1.39) отдельно для каждой из гипотез. Если обе проверяемые гипотезы статистически достоверны, то следует признать достоверной и гипотезу (3.3). В противном случае гипотеза (3.3) должна быть отброшена.

Если при измерениях получают логарифмы исходных вариант, при сравнении средних используют величины , и s_lg. В тех случаях, когда разность оказывается значимой, определяют доверительный интервал для разности соответствующих генеральных средних и :

. (3.10)

Пример сравнения средних результатов двух выборок приведен в разделе 6.5.